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    摭谈对教材例、习题功能的深层挖掘

    2015-11-30 09:41:10 T T

    享誉教育家G·波利亚说:“一度专心的认真备课的师长能够拿出一番有含义但又不太复杂的问题,扮演帮助学生发掘问题的各地方,有效通过这道题,就好象通过一道门户,把学生引入一个完整的论战领域.”高中数学教材中的例、习题凝聚了无数师、专门家的血汗和经验,教材上的例、习题是老师进行教学的论证,也是学员学习探究的样本.在基础科学教学中,咱们决不能就题论题,而应珍视对例、习题的教导潜能作进一步的探讨,以充足挖掘其深层功能,因此给学生一片广阔的政治经济学天空,让学生充分理解数学习题中蕴含的政治经济学美,因此激发学生的读书之兴趣,使学生的政治经济学学习能力、政治经济学思维品质和考古学素养得到实惠的增长.本文就对教材例、习题功能的深层挖掘房一些探讨,以供参考.

    1 钻井教材例、习题的政治经济学背景,激发学生的政治经济学学习兴趣

    前苏联教育家苏霍姆林斯基觉得:执行证明,顶课堂上所讲的教科书里既包含一定“份额”的已部分东西又包含一定“份额”的新事物才能唤起建立在揣摩本质上面的安居乐业的兴趣.“兴趣是最好的师长”,若能在课堂教学中有效地激发学生学习数学的兴趣,对于加强学生的政治经济学能力必然产生积极地影响.教材中有为数不少例、习题具有坚实的政治经济学背景,在教学过程中如果能够注意到相关问题的政治经济学背景,通告出已知的东西跟新的东西的里间的深厚联系,可以有效地激发学生的读书兴趣和学习热情,抵达可观的教学效果.

    1 (苏教版《政治经济学·必修5》先后54页习题2.31)先后17题)如图,名将一个边长为1的图形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……试探求第 个图形的边长和全长.

    1

    2

    3

    解答主题之前,可先向学生揭示其背景:这样形成的图片称为分形(fractal).什么是分形?外籍数学家曼德勃罗特(Mandelbrot)最先提出了分形这个词汇来讲述,据曼德勃罗特讲课自己说,fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚,它在冥思苦想之余偶翻他儿子的藏文字典时,突然想到的.此词源于拉丁文形容词fractus,对应的藏文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”).另外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根.在70年代中叶以前,曼德勃罗特一直采取英文fractional一词来表示她的成份形思想.故此,取拉丁词的末,撷英文之末的fractal,本意是不对的、破碎的、分数的.曼德勃罗特是想用此词来讲述自然界中传统欧几里德经济学所不能描述的一大类复杂无规的多少对象.例如,弯弯曲曲的边线、起伏不平的群山,粗糙不堪的平面,变幻无常的乌云,九曲回肠的河水,纵横交错的血脉,令人眼花缭乱的高空繁星等.它们的特性都是,极不规则或极不光滑.宏观而简易地说,该署目标都是分形.

    学员了解这一背景下,原始枯燥的练习在脑际中时而鲜活起来,读书之兴趣就会大大提高.在成就此题后,咱们可以再送出以下问题让学生思考.

    希冀1

    希冀2

    希冀3

    题材 名将正 分割成 个全等的小正三角形(希冀 2 ,希冀 3 离别送出了 的图景),在每个三角形的终极各放置一个指数,使位于 的三边及平行于某边的任一直线上的席位数(顶数之席位数不少于 3 时)都分别依次成等差数列,若顶点 处的三指数互不相同且和为 1 ,记所有顶点上的席位数之和为 ,则有 ,……,

    主题实际上是分形思想在数列中的应用.

    2 钻井教材例、习题的变式功能,促进学生思维能力的增长

    2.1 穿过一题多解和一题多变,塑造学生思维的大规模性

    想想的大规模性,是指思路宽广,擅长多角度、多层次的展开探求.在基础科学学习之经过中,想想的大规模性又表现为,既能把握数学问题的一体化,抓住他的主干特色,又能抓住重点的细节和新鲜因素.在解决问题时能多方位观察、多管齐下地思索问题;能点面结合、圆满地剖析问题;擅长通过广泛的构想,找出隐含关系,能用不同之点子处理和解决问题.在例、习题的教学中,穿过对例题的规范或结论进行改变,有助于培养学生的探讨能力与更新意识,有利于学生发散性思维和多样性思维的培训.

    2 (苏教版《政治经济学·必修5》先后100页例3)过点的曲线轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两线,顶的体积最小时,求直线的未知数.

    书法1 由题意知,伽马射线 的储蓄率存在.设直线 的未知数为 ,则

    ,顶且仅当 ,即 时取等号.

    的体积最小值为4,此刻直线 的未知数为 ,即

    书法2 由题意,设直线 的未知数为

    ∵点 在直线 上,∴

    由基本不等式,得 ,即 .于是乎 ,顶且仅当 ,即 时取等号.

    的体积最小值为4,此刻直线 的未知数为 ,即

    书法3 同解法2,得 ,因此

    ,∴ ,故 ,∴ ,顶且仅当 ,即 时取等号,此刻

    的体积最小值为4,此刻直线 的未知数为 ,即

    书法4 同解法2,得 .令 ,则 .于是乎

    ,∴ ,即 ,顶且仅当 ,即 时取等号.此刻

    x

    y

    A

    B

    O

    M

    N

    的体积最小值为 4 ,此刻直线 的未知数为 ,即

    书法5 如图,过点 离别作轴、轴的垂线 ,垂足分别为 .设

    于是乎

    ,顶且仅当 ,即 时取等号.此刻直线 的储蓄率为

    的体积最小值为4,此刻直线 的未知数为 ,即

    解题后,军民共同对问题进行大规模的思维与讨论,副条件的转换中得出如下的相关问题.

    题材1 过点的曲线 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两线,顶直线在两坐标轴上的截距之和最小时,求直线 的未知数.

    题材2 过点的曲线 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两线,顶 的积最小时,求直线 的未知数.

    题材3 过点的曲线 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两线,顶 之和最小时,求直线 的未知数.

    题材4 若将例题条件“ 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两线”成为“ 轴分别交于两线”,则例题又该如何解决?

    题材5 过点的曲线 轴分别交于两线, 的体积为4,则这样的曲线有好多条?若面积为3,面积为5呢?

    题材6 过点的曲线 轴分别交于两线, 的体积为 ,则这样的曲线有好多条?

    2.2 穿过反思教学,塑造学生思维的随意性和更新性

    反思是指自觉地对数学认知活动开展试验、剖析、总结、评说、调整的经过,是学员调控学习之根基,是体会过程中加重自身意识、开展自我监控、自身调节的重要性形式.马耳他著名经济学教育家弗赖登塔尔指出:反思是经济学思维活动的骨干和动力.反思教学是经济学教学活动中最重要的一环,在例、习题的教学中提高反思教学对于学生思维品质的增长有着至关重要意义,穿过反思教学可以有效的培训学生思维的随意性和更新性.

    3 (苏教版《政治经济学·选修2-1》先后42页习题231)先后5题)在 美方, ,伽马射线 的储蓄率乘积为 ,求顶点 的轨道.

    课堂上,学员自主完成这道题目,得出答案: 点的轨道方程为 ,他轨迹为辅线 除去 轴上的线.

    在成就后,可以引导学生开展反省和联想:所求的准线中 恰好等于 ,这是巧合吗?

    题材1 美方, ,伽马射线 的储蓄率乘积为 ,则顶点 的轨道为什么?你能得出一番普通的总结吗?

    同学在谈论后,得出如下结论:

    总结1 与两个固定 , 连线的储蓄率乘积等于定值 的动点 的轨道方程是 他轨迹为辅线 除去 轴上的线.

    题材2 总结1的逆命题是什么?只是成立?

    总结2 伽马射线 长轴的两个极点与双曲线上除这两个极点外的任一点连线斜率之积为

    题材3 是否对结论2房一般性推广?总结如何?

    总结3 已知AB是过双曲线 的核心的一枝弦, 是直线上异于极端的少数,设直线 的储蓄率分别为 ,则

    题材4 在椭圆中是否给出类似之总结?

    总结4 椭圆 上任意经过原点的弦的两个盲点与椭圆上的任一点(除这两线外)连线斜率之积为

    乘热打铁,咱们可以再送出以下问题让学生开展练习,并对自己之意识加以体会.

    y

    题材 1 如图,若 为椭圆 的西方顶点,伽马射线 AD PD 交直线 两线,则 的最小值为

    题材22011年广东高考第18题)如图,在平面直角坐标系 美方, 离别是椭圆 的终极,过坐标原点的曲线交椭圆于PA两线,他中心P在重要象限,过P轴的垂线,垂足为C,连片AC并延长交椭圆于点B设直线PA的储蓄率为k

    1)若直线PA平均线段NM时,求k的值;

    y

    2 )顶 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离

    3)对任意的k0,求证:PAPB

    末了,送同学留下一道思考题:

    坐标平面上有两个固定 和动点 ,如果直线 的储蓄率之积为定值 ,试讨论点 的轨道.

    3 钻井教材例、习题的使用功能,塑造学生的使用意识和建模能力

    政治经济学应用意识是学员积极尝试从哲学角度运用数学思想、主意,追求问题解决策略,探讨数学知识之使用价值的发现.塑造学生数学应用的发现和力量,不仅是经济学科学发展之需求,也是时下数学教育改革发展之必然趋势.教材中有的是政治经济学问题属于纯数学模型,但很多纯数学模型都有稳定的使用背景,因此在基础科学教学中我们可以寻找一些有应用背景的题材来引导学生用经济学的意见,剖析学生学习、生存以及其他领域的切实可行问题,让学生实际体会到数学源于现实、寓于现实、用于现实,因此培养学生应用新闻学工具分析和消灭具体问题的力量,增长学生的政治经济学应用意识.

    4 苏教版《政治经济学·选修2-2》先后71页例2)已知 平均为正实数, ,求证:

    在讲完这个不等式的证法之后,我投影了下面的题材,让学生思考.

    热学规定,个体住房是窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗扇面积与地面面积的比应不小于10%,并且这个比越大,住房的采光条件越好.问同时增加相等的窗牖面积和地面面积,住房的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

    剖析 设原窗户面积为 ,地面面积为 ,则窗户面积和地面面积的比为 .同时增加的窗牖和地面面积为 ,则增加后的窗牖面积和地面面积的比为 .于是乎问题就是判断 的尺寸关系.很显然,由上述例题即得.

    紧接着,我又给出如下课后练习.

    咱们每个人都有这样的生存体验:在一盏不饱和的糖水中加入一勺糖,糖水会变咸,你能用所学数学知识解释这一现象吗?试根据你的说明写一篇数学小论文《糖水为什么会变咸?》.

    历经这样的拍卖,一度不等式在学生的脑海中牛上与生存关系起来,既可以激发学生的读书兴趣,又可以让学生充分感受数学源于现实、服务于现实的真谛,同时还可以培养学生的政治经济学建模能力.

    前苏联数学家奥加涅相说过:“必须尊重广大习题潜在着进一步壮大其数学功能、开拓进取功能和教育作用的主旋律.”在基础科学教学中应提倡教师将教材中的例、习题进行探索、延长或开展,当然探究应结合教材的情节和学习者的现实性,并在教师的启迪和指导下由学生讨论完成. (此文发表于《政治经济学通讯》2015.5

    参考文献:

    [1] 杨金忠.成份形几何在高中思想中的渗透距离[J].中学数学月刊,20147).

    [2] 石志群.用好教材 回国本真 落实数学的教导价值[J].政治经济学通报,20146).

    [3] 陈二光.一道课本例题的多解、变式与引申[J].中学数学月刊,201212).


    
       
    
       
       
       
       
       

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